Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x - 4) (x^{2} + 8)$ , $(1, - 27)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = - 27$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 4$ y $g (x) = x^{2} + 8$ .

$(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 8] + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [8]) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 1.2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 4) (2 x + 0) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$(x - 4) (2 x) + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 1.2.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x - 4$ .

$2 \cdot (x - 4) x + (x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x - 4]$

Paso 1.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Paso 1.2.7

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) (1 + 0)$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$2 (x - 4) x + (x^{2} + 8) \cdot 1$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $x^{2} + 8$ por $1$ .

$2 (x - 4) x + x^{2} + 8$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 2 \cdot - 4) x + x^{2} + 8$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Paso 1.3.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Paso 1.3.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Paso 1.3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Paso 1.3.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x + x^{2} + 8$

Paso 1.3.3.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$2 x^{2} - 8 x + x^{2} + 8$

Paso 1.3.3.6

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 x + 8$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$3 {(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 8$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 8$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 8 \cdot 1 + 8$

Paso 1.5.1.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$3 - 8 + 8$

Paso 1.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.5.2.1

Resta $8$ de $3$ .

$- 5 + 8$

Paso 1.5.2.2

Suma $- 5$ y $8$ .

$3$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $3$ y un punto dado $(1, - 27)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 27) = 3 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 27 = 3 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $3 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 27 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 27 = 3 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 27 = 3 x + 3 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y + 27 = 3 x - 3$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 3 x - 3 - 27$

Paso 2.3.2.2

Resta $27$ de $- 3$ .

$y = 3 x - 30$

Paso 3