Cálculo Ejemplos

$y = 18 \sqrt{x}$ , $(9, 54)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 9$ y $y = 54$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [18 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$18 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$18 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$18 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Combina $18$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{18 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{18}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14

Evalúa la derivada en $x = 9$ .

$\frac{9}{{(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Mueve ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$9 \cdot 9^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.15.2

Multiplica $9$ por $9^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.15.2.1

Multiplica $9$ por $9^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.15.2.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $1$ .

$9^{1} \cdot 9^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.15.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9^{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 1.15.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$9^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 1.15.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9^{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 1.15.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$9^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.15.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.15.3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.15.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.15.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.15.4.1

Cancela el factor común.

$3^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.15.4.2

Reescribe la expresión.

$3^{1}$

Paso 1.15.5

Evalúa el exponente.

$3$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $3$ y un punto dado $(9, 54)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (54) = 3 \cdot (x - (9))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 54 = 3 \cdot (x - 9)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $3 \cdot (x - 9)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 54 = 0 + 0 + 3 \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 54 = 3 \cdot (x - 9)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 54 = 3 x + 3 \cdot - 9$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $3$ por $- 9$ .

$y - 54 = 3 x - 27$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $54$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3 x - 27 + 54$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 27$ y $54$ .

$y = 3 x + 27$

Paso 3