Cálculo Ejemplos

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{6}$ y $y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 1.2

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{6}$ .

$\sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.4

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 1.3.5

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 1.3.5.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Paso 1.3.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Paso 1.3.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{3 \cdot 3}$

Paso 1.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Paso 1.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 1.3.5.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Paso 1.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Paso 1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Paso 1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Paso 1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Paso 1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 3^{1}}{9}$

Paso 1.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \cdot 3}{9}$

Paso 1.3.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{9}$

Paso 1.3.8

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 1.3.8.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2)}{9}$

Paso 1.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.8.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 1.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 1.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{3}$ y un punto dado $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = 0 + 0 + \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{- π}{3}$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.7.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} + \frac{- π}{9}$

Paso 2.3.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9}$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Para escribir $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.3.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- π + 6 \sqrt{3}}{9}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- π$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) + 6 \sqrt{3}}{9}$

Paso 2.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $6 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π) - (- 6 \sqrt{3})}{9}$

Paso 2.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (π) - (- 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Paso 2.3.3.8

Reescribe $- (π - 6 \sqrt{3})$ como $- 1 (π - 6 \sqrt{3})$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 1 (π - 6 \sqrt{3})}{9}$

Paso 2.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Paso 2.3.3.10

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{π - 6 \sqrt{3}}{9}$

Paso 3