Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(- \frac{π}{4}, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - \frac{π}{4}$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Paso 1.3

Reordena los factores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = - \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (- \frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.3

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.5.5.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.5.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.5.6.5

Evalúa el exponente.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.6.1

Cancela el factor común.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.6.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.7.4.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.7.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 2^{1} \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.7.5

Evalúa el exponente.

$2 \cdot 2 \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \tan (- \frac{π}{4})$

Paso 1.5.9

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 1.5.10

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Paso 1.5.11

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.5.12

Multiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 1.5.12.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 \cdot - 1$

Paso 1.5.12.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 4$ y un punto dado $(- \frac{π}{4}, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 4 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - 4 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - 4 x - 4 \frac{π}{4}$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - 1 = - 4 x + 4 (- 1) \frac{π}{4}$

Paso 2.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$y - 1 = - 4 x + 4 \cdot - 1 \frac{π}{4}$

Paso 2.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - 4 x - 1 π$

Paso 2.3.1.5

Reescribe $- 1 π$ como $- π$ .

$y - 1 = - 4 x - π$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 4 x - π + 1$

Paso 3