Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ ; $x = 4$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 4$ .

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Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

Paso 1.2

Simplifica $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

Paso 1.2.2

Suma $16$ y $9$ .

$y = \sqrt{25}$

Paso 1.2.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

Paso 1.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 5$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 9}$ como ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.10

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Paso 2.11

Simplifica los términos.

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Paso 2.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Paso 2.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 2.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.11.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.11.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.12

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13

Simplifica el denominador.

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Paso 2.13.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.2

Suma $16$ y $9$ .

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.13.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.13.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.13.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{5^{1}}$

Paso 2.13.6

Evalúa el exponente.

$\frac{4}{5}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{4}{5}$ y un punto dado $(4, 5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{4}{5}$ y $x$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{4}{5} \cdot - 4$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Combina $\frac{4}{5}$ y $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

Paso 3.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.3.2.3

Combina $5$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $- 16$ y $25$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

Paso 4