Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(\frac{x + 2}{x - 2})}^{2}$ ; $(6, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 6$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$2 \frac{x + 2}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Paso 1.2

Combina $2$ y $\frac{x + 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x - 2}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 2$ y $g (x) = x - 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.4.2

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.8

Combina fracciones.

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Paso 1.4.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.4.8.3

Multiplica $\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ por $\frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{(x - 2) {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.5

Multiplica $x - 2$ por ${(x - 2)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.1

Multiplica $x - 2$ por ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 1.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{1 + 2}}$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x + 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (x - 2 - x - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $x - 2 - x - 1 \cdot 2$ .

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Paso 1.6.3.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x + 4) (0 - 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.3.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 1 \cdot 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (- 2 - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.3.4

Resta $2$ de $- 2$ .

$\frac{(2 x + 4) \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot - 4 + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.3.6

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8 x + 4 \cdot - 4}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.3.7

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 x - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.4

Factoriza $8$ de $- 8 x - 16$ .

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Paso 1.6.4.1

Factoriza $8$ de $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) - 16}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.4.2

Factoriza $8$ de $- 16$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (- 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.4.3

Factoriza $8$ de $8 (- x) + 8 (- 2)$ .

$\frac{8 (- x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) - 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.6

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.7

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{8 (- (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.8

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{8 (- 1 (x + 2))}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.6.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8 (x + 2)}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1.7

Evalúa la derivada en $x = 6$ .

$- \frac{8 ((6) + 2)}{{((6) - 2)}^{3}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Suma $6$ y $2$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{{(6 - 2)}^{3}}$

Paso 1.8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.8.2.1

Resta $2$ de $6$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{4^{3}}$

Paso 1.8.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{8 \cdot 8}{64}$

Paso 1.8.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.8.3.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$- \frac{64}{64}$

Paso 1.8.3.2

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 1.8.3.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{64}{64}$

Paso 1.8.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.8.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(6, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 1 \cdot (x - (6))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 1 \cdot (x - 6)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 6)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = - 1 \cdot (x - 6)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = - 1 x - 1 \cdot - 6$

Paso 2.3.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.4.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 4 = - x - 1 \cdot - 6$

Paso 2.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$y - 4 = - x + 6$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - x + 6 + 4$

Paso 2.3.2.2

Suma $6$ y $4$ .

$y = - x + 10$

Paso 3