Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ , $(2, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)$

Paso 1.2.7

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 1.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.3.2.3

Reescribe el polinomio.

$(2 x - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 1.3.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Multiplica $2 x - 2$ por $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Factoriza $2$ de $2 x - 2$ .

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Paso 1.3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $x - 1$ y ${(x - 1)}^{2}$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $x - 1$ de $2 (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.5.2.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Paso 1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x - 1}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{2}{(2) - 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{2}{1}$

Paso 1.5.2

Divide $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(2, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 2 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 2 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 2 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.2

Simplifica $2 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = 2 x - 4$

Paso 3