Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ , $(2, 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{2 x^{3} + 8 x}$ como ${(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ y $g (x) = 2 x^{3} + 8 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{3} + 8 x$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.6.2

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{5} {(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{5}$ y ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(2 x^{3} + 8 x)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8 x]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.9

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.11

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x])$

Paso 1.12

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8 \cdot 1)$

Paso 1.14

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Reordena los factores de $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}} (6 x^{2} + 8)$ .

$(6 x^{2} + 8) \frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.15.2

Multiplica $6 x^{2} + 8$ por $\frac{1}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.15.3

Factoriza $2$ de $6 x^{2} + 8$ .

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Paso 1.15.3.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 8}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.15.3.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.15.3.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 4)}{5 {(2 x^{3} + 8 x)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.16

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2 {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17

Simplifica.

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Paso 1.17.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.17.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{3}$ .

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Paso 1.17.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1} {(2)}^{3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{1 + 3} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{2 (3 {(2)}^{2} + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.17.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 4 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{2 (12 + 4)}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.2.3

Suma $12$ y $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(2^{4} + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.17.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.17.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 8 (2))}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.3.1.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 {(16 + 16)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.3.2

Suma $16$ y $16$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.3.3

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.17.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Paso 1.17.3.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.17.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}$

Paso 1.17.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 2^{4}}$

Paso 1.17.3.6

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{2 \cdot 16}{5 \cdot 16}$

Paso 1.17.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.17.4.1

Multiplica $2$ por $16$ .

$\frac{32}{5 \cdot 16}$

Paso 1.17.4.2

Multiplica $5$ por $16$ .

$\frac{32}{80}$

Paso 1.17.4.3

Cancela el factor común de $32$ y $80$ .

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Paso 1.17.4.3.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\frac{16 (2)}{80}$

Paso 1.17.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.17.4.3.2.1

Factoriza $16$ de $80$ .

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Paso 1.17.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 5}$

Paso 1.17.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{5}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{5}$ y un punto dado $(2, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{2}{5} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{2}{5} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = \frac{2}{5} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{2}{5}$ y $x$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y - 2 = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 2 = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 2 \cdot 5}{5}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{- 4 + 10}{5}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 4$ y $10$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{6}{5}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{6}{5}$

Paso 3