Cálculo Ejemplos

$x^{2} + 6 x y + 12 y^{2} = 28$ , $(2, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 6 x y + 12 y^{2}) = \frac{d}{d x} (28)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6 x y + 12 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x y$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [12 y^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 y^{2}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 12 (2 y y')$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $2$ por $12$ .

$2 x + 6 (x y' + y) + 24 y y'$

Paso 1.2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 6 (x y') + 6 y + 24 y y'$

Paso 1.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x + 6 x y' + 6 y + 24 y y'$

Paso 1.2.4.3

Reordena los términos.

$6 x y' + 24 y y' + 2 x + 6 y$

Paso 1.3

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x y' + 24 y y' + 2 x + 6 y = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x y' + 24 y y' + 6 y = - 2 x$

Paso 1.5.1.2

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x y' + 24 y y' = - 2 x - 6 y$

Paso 1.5.2

Factoriza $6 y'$ de $6 x y' + 24 y y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Factoriza $6 y'$ de $6 x y'$ .

$6 y' x + 24 y y' = - 2 x - 6 y$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $6 y'$ de $24 y y'$ .

$6 y' x + 6 y' (4 y) = - 2 x - 6 y$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $6 y'$ de $6 y' x + 6 y' (4 y)$ .

$6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$ por $6 (x + 4 y)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $6 y' (x + 4 y) = - 2 x - 6 y$ por $6 (x + 4 y)$ .

$\frac{6 y' (x + 4 y)}{6 (x + 4 y)} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y' (x + 4 y)}{6 (x + 4 y)} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x + 4 y)}{x + 4 y} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $x + 4 y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 4 y)}{x + 4 y} = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{6 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $6 (x + 4 y)$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (x + 4 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (x + 4 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.3.1.3.1

Factoriza $6$ de $- 6 y$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} + \frac{- y}{x + 4 y}$

Paso 1.5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y}{x + 4 y}$

Paso 1.5.3.3.2

Para escribir $- \frac{y}{x + 4 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y}{x + 4 y} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 (x + 4 y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{y}{x + 4 y}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y \cdot 3}{(x + 4 y) \cdot 3}$

Paso 1.5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(x + 4 y) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{x}{3 (x + 4 y)} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x - y \cdot 3}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y' = \frac{- x - 3 y}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 3 y}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (x) - (3 y)}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (x + 3 y)}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.9

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.3.9.1

Reescribe $- (x + 3 y)$ como $- 1 (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 3 y)}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.5.3.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x + 3 y}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 3 y}{3 (x + 4 y)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$- \frac{(2) + 3 y}{3 ((2) + 4 y)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{(2) + 3 (1)}{3 ((2) + 4 (1))}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{2 + 3}{3 (2 + 4 (1))}$

Paso 1.7.3.2

Suma $2$ y $3$ .

$- \frac{5}{3 (2 + 4 (1))}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{5}{3 (2 + 4)}$

Paso 1.7.4.2

Suma $2$ y $4$ .

$- \frac{5}{3 \cdot 6}$

Paso 1.7.5

Multiplica $3$ por $6$ .

$- \frac{5}{18}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{5}{18}$ y un punto dado $(2, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{5}{18} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{5}{18} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{5}{18} x - \frac{5}{18} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{5}{18}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} - \frac{5}{18} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{18}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{18} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $18$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 (9)} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5}{9} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{- 5}{9}$ y $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{- 5 \cdot - 1}{9}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 5}{18} + \frac{5}{9}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9} + 1$

Paso 2.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5}{9} + \frac{9}{9}$

Paso 2.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{5 + 9}{9}$

Paso 2.3.2.4

Suma $5$ y $9$ .

$y = - \frac{5 x}{18} + \frac{14}{9}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{5}{18} x) + \frac{14}{9}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{18} x + \frac{14}{9}$

Paso 3