Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} + 1$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{3} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{3} + 1$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{3} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{0}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{2}$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $2$ y en $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.2.2.4

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Paso 6.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Paso 6.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 6.3.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Paso 6.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} + 0)$

Paso 6.5

Suma $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 3}$

Paso 6.6.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{9}$

Forma decimal:

$0.62853936 \dots$