Cálculo Ejemplos

$\int (x^{2} + x) \sqrt[3]{x + 7} d x$

Paso 1

Sea $u = x + 7$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x + 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 1.1.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) \sqrt[3]{u} d u$

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) \sqrt[3]{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int ({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3

Expande $({(u - 7)}^{2} + u - 7) u^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.1

Reescribe ${(u - 7)}^{2}$ como $(u - 7) (u - 7)$ .

$\int ((u - 7) (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u (u - 7) - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 (u - 7) + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u - 7) u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7 + u) u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7 - 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + (- 7 u - 7 \cdot - 7) u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} + u \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.10

Reordena $u$ y $- 7$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.11

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.12

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + 1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.14

Suma $1$ y $1$ .

$\int u^{2} u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{2 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.16

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int u^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.17

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 3.19.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int u^{\frac{6 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.19.2

Suma $6$ y $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.20

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.22

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.24

Suma $3$ y $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.25

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 (u^{1} u^{\frac{1}{3}}) - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.26

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.27

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.28

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.29

Suma $3$ y $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 \cdot - 7 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.30

Multiplica $- 7$ por $- 7$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.31

Resta $7 u^{\frac{4}{3}}$ de $- 7 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u \cdot u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.32

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1} u^{\frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.33

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{1 + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.34

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.35

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{3 + 1}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.36

Suma $3$ y $1$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.37

Reordena $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ y $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{7}{3}} + 49 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.38

Reordena $u^{\frac{7}{3}}$ y $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.39

Mueve $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 3.40

Mueve $- 14 u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

$\int 49 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 7 u^{\frac{1}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Resta $7 u^{\frac{1}{3}}$ de $49 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} + u^{\frac{4}{3}} - 14 u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 4.2

Resta $14 u^{\frac{4}{3}}$ de $u^{\frac{4}{3}}$ .

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} + u^{\frac{7}{3}} - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 42 u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 6

Dado que $42$ es constante con respecto a $u$ , mueve $42$ fuera de la integral.

$42 \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int u^{\frac{7}{3}} d u + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{7}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}}$ .

$42 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 9

Combina $\frac{3}{4}$ y $u^{\frac{4}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C + \int - 13 u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 10

Dado que $- 13$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 13$ fuera de la integral.

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{3}{7}$ y $u^{\frac{7}{3}}$ .

$42 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + C - 13 (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$\frac{63 u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - 13 \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

$\frac{63 u^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - 13 \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - 13 (\frac{3}{7}) u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $- 13$ y $\frac{3}{7}$ .

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 13 \cdot 3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 14.2

Multiplica $- 13$ por $3$ .

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} + \frac{- 39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 14.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

$\frac{63}{2} u^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} u^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 7$ .

$\frac{63}{2} {(x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{10} {(x + 7)}^{\frac{10}{3}} - \frac{39}{7} {(x + 7)}^{\frac{7}{3}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$