Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\sqrt{π}} x \cos (x^{2}) d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Paso 1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Paso 1.5

Reescribe ${\sqrt{π}}^{2}$ como $π$ .

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Paso 1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{π}$ como $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Paso 1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π^{1}$

Paso 1.5.5

Simplifica.

$u_{upper} = π$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Paso 4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) - 0)$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (π) + 0)$

Paso 5.2.3

Suma $\sin (π)$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (π)$

Paso 5.2.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{\sin (0)}{2}$

Paso 5.3.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{2}$

Paso 5.3.2

Divide $0$ por $2$ .

$0$