Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{49} \frac{1}{\sqrt[3]{{(27 + 2 x)}^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u = 27 + 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 27 + 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $27 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [27 + 2 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $27 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $2$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 27 + 2 x$ .

$u_{lower} = 27 + 2 \cdot 0$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 27 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $27$ y $0$ .

$u_{lower} = 27$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 27 + 2 x$ .

$u_{upper} = 27 + 2 \cdot 49$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $49$ .

$u_{upper} = 27 + 98$

Paso 1.5.2

Suma $27$ y $98$ .

$u_{upper} = 125$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 27$

$u_{upper} = 125$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}} \cdot 2} d u$

Paso 2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt[3]{u^{2}}$ .

$\int_{27}^{125} \frac{1}{2 \sqrt[3]{u^{2}}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u^{2}}$ como $u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{2}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 4.3.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int_{27}^{125} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $u$ es $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} 3 u^{\frac{1}{3}}]_{27}^{125}$

Paso 6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1

Evalúa $3 u^{\frac{1}{3}}$ en $125$ y en $27$ .

$\frac{1}{2} ((3 \cdot 125^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot {(5^{3})}^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{3 (\frac{1}{3})} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5^{1} - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.2.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 5 - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 27^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.4

Simplifica.

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Paso 6.4.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Paso 6.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})})$

Paso 6.4.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{3 (\frac{1}{3})})$

Paso 6.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3^{1})$

Paso 6.4.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2} (15 - 3 \cdot 3)$

Paso 6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.5.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} (15 - 9)$

Paso 6.5.2

Resta $9$ de $15$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{6}{2}$

Paso 6.6.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 6.6.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2}$

Paso 6.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Paso 6.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Paso 6.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1}$

Paso 6.6.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3$