Cálculo Ejemplos

$\int \frac{6 x}{\sqrt{7 - 3 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u = 7 - 3 x^{2}$ . Entonces $d u = - 6 x d x$ , de modo que $\frac{1}{- 6 x} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 7 - 3 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $7 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$0 - 6 x$

Paso 1.1.4

Resta $6 x$ de $0$ .

$- 6 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 6.2

Reescribe $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ como $- 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 - 3 x^{2}$ .

$- 2 {(7 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$