Cálculo Ejemplos

$\int x \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = 3 - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 1.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.2

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (- \frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{\sqrt[3]{u}}{2}) d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \int (- \frac{u}{2} + \frac{3}{2}) \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int - \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5.2

Combina $- \frac{u}{2}$ y $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u \cdot u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \int - \frac{u^{1} u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int - \frac{u^{1 + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \int - \frac{u^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \int - \frac{u^{\frac{3 + 1}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5.7

Suma $3$ y $1$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 5.9

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{2}$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2} d u$

Paso 5.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u$

Paso 5.11

Reordena $- \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4}$ y $\frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$- \int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int \frac{3 u^{\frac{1}{3}}}{4} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{3}{4} \int u^{\frac{1}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Paso 9

Combina $\frac{3}{4}$ y $u^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) + \int - \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{4} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (\frac{1}{4} \int u^{\frac{4}{3}} d u))$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C))$

Paso 13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Combina $\frac{3}{7}$ y $u^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{3}{4} (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - \frac{1}{4} (\frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{7} + C))$

Paso 13.2

Simplifica.

$- (\frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 u^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$- (\frac{9}{16} u^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} u^{\frac{7}{3}}) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 2 x$ .

$- (\frac{9}{16} {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

Paso 16

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1.1

Combina $\frac{9}{16}$ y ${(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3}{28} {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$

Paso 16.1.2

Combina ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ y $\frac{3}{28}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{{(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{28}) + C$

Paso 16.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de ${(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Paso 16.2

Para escribir $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}) + C$

Paso 16.3

Para escribir $- \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16} \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Paso 16.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $112$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.4.1

Multiplica $\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}}}{16}$ por $\frac{7}{7}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{16 \cdot 7} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Paso 16.4.2

Multiplica $16$ por $7$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28} \cdot \frac{4}{4}) + C$

Paso 16.4.3

Multiplica $\frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{28}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{28 \cdot 4}) + C$

Paso 16.4.4

Multiplica $28$ por $4$ .

$- (\frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7}{112} - \frac{3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112}) + C$

Paso 16.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{9 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

Paso 16.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.6.1

Multiplica $7$ por $9$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 3 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}} \cdot 4}{112} + C$

Paso 16.6.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$- \frac{63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$- \frac{1}{112} (63 {(3 - 2 x)}^{\frac{4}{3}} - 12 {(3 - 2 x)}^{\frac{7}{3}}) + C$