Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

Paso 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.1.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.1.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.1.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.1.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.1.11

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 1.1.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.12.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.12.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.13

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.13.1

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.13.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.1.13.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.13.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Paso 1.1.13.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.1.13.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Paso 1.1.13.2

Simplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Paso 4.2

Reescribe $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ como $1 {u_{2}}^{2} + C$ .

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Paso 4.3

Multiplica ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$