Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 y - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

Paso 1

Factoriza $5$ de $5 y - 10$ .

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Paso 1.1

Factoriza $5$ de $5 y$ .

$\int \frac{5 (y) - 10}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

Paso 1.2

Factoriza $5$ de $- 10$ .

$\int \frac{5 y + 5 \cdot - 2}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

Paso 1.3

Factoriza $5$ de $5 y + 5 \cdot - 2$ .

$\int \frac{5 (y - 2)}{y^{2} - 4 y + 11} d y$

Paso 2

Sea $u = y^{2} - 4 y + 11$ . Entonces $d u = (2 y - 4) d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (y - 2) d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = y^{2} - 4 y + 11$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $y^{2} - 4 y + 11$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 4 y + 11]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 4 y + 11$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [11]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 4 y$ con respecto a $y$ es $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y - 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [11]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [11]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 y - 4 + \frac{d}{d y} [11]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $11$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $11$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 y - 4 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $2 y - 4$ y $0$ .

$2 y - 4$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{5}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{5}{u \cdot 2} d u$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{5}{2 u} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{5}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 6

Simplifica.

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{2} - 4 y + 11$ .

$\frac{5}{2} \ln (| y^{2} - 4 y + 11 |) + C$