Cálculo Ejemplos

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

Paso 1.2.2

Mueve $\sqrt{x}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

Paso 1.2.3

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

Paso 1.2.4

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

Paso 1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

Paso 1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

Paso 1.2.7

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Paso 1.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Paso 1.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Paso 1.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Paso 1.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

Paso 1.2.7.5

Simplifica.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int (\sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} d u_{1} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 5

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Paso 5.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \cdot 2 d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\int 2 \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (2 \int \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 10

Combina $\frac{2}{3}$ y ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Paso 11

Sea $u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ . Entonces $d u_{3} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{3} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{1}}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Paso 11.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{3})$

Paso 12

Simplifica la expresión.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} (1 \cdot 2) d u_{3})$

Paso 12.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot 2 d u_{3})$

Paso 12.1.3

Combina $\frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}} \cdot 2}{2 u_{3}} d u_{3})$

Paso 12.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u_{3}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

Paso 12.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

Paso 12.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{u_{3}} d u_{3})$

Paso 12.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{3}}$ como ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{u_{3}} d u_{3})$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Mueve ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Paso 12.3.2

Multiplica $u_{3}$ por ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.2.1

Multiplica $u_{3}$ por ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 12.3.2.1.1

Eleva $u_{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Paso 12.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Paso 12.3.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Paso 12.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{3})$

Paso 12.3.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} d u_{3})$

Paso 12.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 12.4.1

Mueve ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{3})$

Paso 12.4.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 12.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{3})$

Paso 12.4.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3})$

Paso 12.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{3}$ es $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 14.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 15.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16.1.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16.1.2

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16.1.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16.3

Combinar.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Paso 16.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 16.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 16.5

Simplifica cada término.

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Paso 16.5.1

Factoriza $2$ de $1 (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 16.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 16.5.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 (3)} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 16.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 16.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 16.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C$