Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{3} d t$

Paso 1

Sea $u = 2 t + 1$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 t + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 2 t + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 2 t + 1$ .

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Paso 1.5.1.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $u^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{2}$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{4} u^{4}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.3.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Paso 5.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4})$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 5.5.2

Combina $4$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 5.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Paso 5.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.4.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{4}$

Paso 5.5.4.2

Resta $1$ de $16$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Paso 5.6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{15}{8}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{15}{8}$

Forma decimal:

$1.875$

Forma de número mixto:

$1 \frac{7}{8}$