Cálculo Ejemplos

$\int \frac{9 x}{\sqrt[4]{3 x^{2} + 8}} d x$

Paso 1

Sea $u = 3 x^{2} + 8$ . Entonces $d u = 6 x d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 3 x^{2} + 8$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $3 x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$6 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{9}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{9}{\sqrt[4]{u}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{9}{\sqrt[4]{u} \cdot 6} d u$

Paso 2.2

Mueve $6$ a la izquierda de $\sqrt[4]{u}$ .

$\int \frac{9}{6 \cdot \sqrt[4]{u}} d u$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\int \frac{3 (3)}{6 \sqrt[4]{u}} d u$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $3$ de $6 \sqrt[4]{u}$ .

$\int \frac{3 (3)}{3 (2 \sqrt[4]{u})} d u$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 \cdot 3}{3 (2 \sqrt[4]{u})} d u$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{3}{2 \sqrt[4]{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{u}$ como $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{4}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{4}}$ con respecto a $u$ es $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{3}{2} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$ como $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ como $2 u^{\frac{3}{4}} + C$ .

$2 u^{\frac{3}{4}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} + 8$ .

$2 {(3 x^{2} + 8)}^{\frac{3}{4}} + C$