Cálculo Ejemplos

$\int e^{2 x} {(1 + 3 e^{2 x})}^{5} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = 1 + 3 e^{2 x}$ . Entonces $d u_{2} = 6 e^{2 x} d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = 1 + 3 e^{2 x}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + 3 e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 e^{2 x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 3 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 + 3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 3 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + 3 (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 1.1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$0 + 3 (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $2$ por $3$ .

$0 + 6 e^{2 x}$

Paso 1.1.4

Suma $0$ y $6 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{5} \frac{1}{6} d u_{2}$

Paso 2

Combina ${u_{2}}^{5}$ y $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{5}}{6} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{5}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{6} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$ como $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ como $\frac{1}{36} {u_{2}}^{6} + C$ .

$\frac{1}{36} {u_{2}}^{6} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + 3 e^{2 x}$ .

$\frac{1}{36} {(1 + 3 e^{2 x})}^{6} + C$