Cálculo Ejemplos

$\int x \sin (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{u}{2}$ y $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{u \sin (u)}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = u$ y $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Paso 6.2

Multiplica $\int \cos (u) d u$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Paso 7

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Paso 8

Reescribe $\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ como $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 10.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 10.3.2

Factoriza $2$ de $- 2 x \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 10.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 10.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 10.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 10.5

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 10.6

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 10.7

Reordena los factores en $- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$