Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x}{e^{5 x^{2}}} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 5 x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 10 x d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 5 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x)$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{10} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{4}{e^{u_{1}}}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{4}{e^{u_{1}} \cdot 10} d u_{1}$

Paso 2.2

Mueve $10$ a la izquierda de $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{4}{10 \cdot e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $4$ y $10$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int \frac{2 (2)}{10 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $10 e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{2 (2)}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{2 \cdot 2}{2 (5 e^{u_{1}})} d u_{1}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{2}{5 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{2}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Niega el exponente de $e^{u_{1}}$ y quítalo del denominador.

$\frac{2}{5} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Paso 4.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe $- 1 u_{1}$ como $- u_{1}$ .

$\frac{2}{5} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 4.2.2

Multiplica $e^{- u_{1}}$ por $1$ .

$\frac{2}{5} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Paso 5

Sea $u_{2} = - u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = - d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = - u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Paso 5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{2}{5} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{2}{5} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 7

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{5} (- (e^{u_{2}} + C))$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

$\frac{2}{5} (- e^{u_{2}}) + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{2}{5}$ y $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{2 e^{u_{2}}}{5} + C$

Paso 9

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- u_{1}$ .

$- \frac{2 e^{- u_{1}}}{5} + C$

Paso 9.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x^{2}$ .

$- \frac{2 e^{- (5 x^{2})}}{5} + C$

Paso 10

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- \frac{2 e^{- 5 x^{2}}}{5} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$- \frac{2}{5} e^{- 5 x^{2}} + C$