Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

Paso 1

Sea $u = 1 - r$ . Entonces $d u = - d r$ , de modo que $- d u = d r$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - r$ . Obtén $\frac{d u}{d r}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - r$ .

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - r$ con respecto a $r$ es $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $1$ con respecto a $r$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d r} [- r]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $r$ , la derivada de $- r$ con respecto a $r$ es $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ es $n r^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Paso 1.1.4

Resta $1$ de $0$ .

$- 1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Paso 2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

Paso 5.2

Mueve $u^{7}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{7})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

Paso 6

Multiplica $(- u + 1) u^{- 7}$ .

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $u$ por $u^{- 7}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1

Mueve $u^{- 7}$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

Paso 7.1.2

Multiplica $u^{- 7}$ por $u$ .

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Paso 7.1.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

Paso 7.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

Paso 7.1.3

Suma $- 7$ y $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

Paso 7.2

Multiplica $u^{- 7}$ por $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 6}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $u^{- 5}$ y $\frac{1}{5}$ .

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Paso 11.2

Mueve $u^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 7}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $u^{- 6}$ y $\frac{1}{6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

Paso 13.1.2

Mueve $u^{- 6}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

Paso 13.2

Simplifica.

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - r$ .

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$