Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sin (2 x)$ . Entonces $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sin (2 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Paso 1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Paso 1.5.1.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \sin (π)$

Paso 1.5.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{upper} = \sin (0)$

Paso 1.5.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2

Combina ${u_{2}}^{5}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{5}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ en $0$ y en $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Paso 5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Paso 5.2.3

Resta $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Paso 5.3.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Forma decimal:

$- 0.03515625$