Cálculo Ejemplos

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\ln (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = \ln (u)$ y $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $u$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

Paso 9.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $\ln (2 x + 1)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Paso 9.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4

Simplifica cada término.

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Paso 9.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.3

Multiplica $\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ por $1$ .

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.4.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.5

Para escribir $\ln (2 x + 1) x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.6

Combina $\ln (2 x + 1) x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.8.1

Factoriza $\ln (2 x + 1)$ de $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ .

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Paso 9.4.8.1.1

Factoriza $\ln (2 x + 1)$ de $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.8.1.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.8.1.3

Factoriza $\ln (2 x + 1)$ de $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Paso 9.4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

Paso 9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$