Cálculo Ejemplos

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 8 x d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$8 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$8 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Paso 2.2

Multiplica $u$ por $u^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Multiplica $u$ por $u^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Paso 2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Paso 2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

Paso 2.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

Paso 2.3

Combina $u^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 5.2

Reescribe $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ como $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$