Cálculo Ejemplos

$\int e^{- x^{4}} (- 4 x^{3}) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 2.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\int e^{- {u_{1}}^{2}} (- 2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int e^{- {u_{1}}^{2}} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Sea $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Paso 4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- {u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 5.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Paso 7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9.3

Multiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 10

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- {u_{1}}^{2}$ .

$e^{- {u_{1}}^{2}} + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{- {(x^{2})}^{2}} + C$