Cálculo Ejemplos

$\int x {(4 x + 5)}^{3} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x + 5$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) u^{3} \frac{1}{4} d u$

Paso 2

Combina $\frac{1}{4}$ y $u^{3}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) \frac{u^{3}}{4} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{u}{4}$ por $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Paso 3.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{u^{1 + 3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Paso 3.5

Suma $1$ y $3$ .

$\int \frac{u^{4}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Paso 3.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Paso 3.7

Combina $- \frac{5}{4}$ y $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{4 \cdot 4} d u$

Paso 3.8

Multiplica $4$ por $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{u^{4}}{16} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} \int u^{4} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Paso 8

Dado que $\frac{5}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{5}{16}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (\frac{5}{16} \int u^{3} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \frac{5}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 10.2

Reescribe $\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ como $\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 10.3

Simplifica.

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{5}{16}$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{4 \cdot 16} u^{4} + C$

Paso 10.3.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{64} u^{4} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 5$ .

$\frac{1}{80} {(4 x + 5)}^{5} - \frac{5}{64} {(4 x + 5)}^{4} + C$