Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Paso 1.1.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Paso 1.1.3.2.2

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.2.3.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Paso 1.1.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 1.1.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 1.1.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{lower} = \ln (1)$

Paso 1.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{8})}^{2}$ .

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Paso 1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

Paso 1.5.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $16$ fuera del exponente.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

Paso 1.5.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

Paso 1.5.4

Multiplica $16$ por $1$ .

$u_{upper} = 16$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Evalúa $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ en $16$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 4.2

Eleva $16$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Paso 4.4.2

Simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Paso 4.4.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

Paso 4.4.3

Suma $\frac{4096}{3}$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

Paso 4.4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{4096}{6}$

Paso 4.4.4.3

Cancela el factor común de $4096$ y $6$ .

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Paso 4.4.4.3.1

Factoriza $2$ de $4096$ .

$\frac{2 (2048)}{6}$

Paso 4.4.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Paso 4.4.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2048}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2048}{3}$

Forma decimal:

$682.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$682 \frac{2}{3}$