Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

Paso 1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (x)$ a $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 2

Usa la identidad pitagórica para transformar $1$ en $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Resta ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ de ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Paso 3.2

Suma ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ y ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Paso 3.3

Suma $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ y $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 4

Multiplica el argumento por $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 5

Combinar.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 6

Multiplica ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Paso 7

Reescribe $\sec (\frac{x}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Paso 8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ de $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

Paso 8.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

Paso 8.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Paso 10

Sea $u = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 10.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 10.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Paso 11.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Paso 11.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

Paso 12

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 13.3

Multiplica $\int \sec^{2} (u) d u$ por $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Paso 14

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$