Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{2}}{2 {(4 x^{3} + 9)}^{\frac{1}{4}}} d x$

Paso 1

Sea $u = 4 x^{3} + 9$ . Entonces $d u = 12 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 4 x^{3} + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $4 x^{3} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 9]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{2} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $12 x^{2}$ y $0$ .

$12 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{3}{2 u^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{1}{12} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{3}{2 u^{\frac{1}{4}}}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{3}{2 u^{\frac{1}{4}} \cdot 12} d u$

Paso 2.2

Multiplica $12$ por $2$ .

$\int \frac{3}{24 u^{\frac{1}{4}}} d u$

Paso 2.3

Factoriza $3$ de $3$ .

$\int \frac{3 (1)}{24 u^{\frac{1}{4}}} d u$

Paso 2.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.1

Factoriza $3$ de $24 u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int \frac{3 (1)}{3 (8 u^{\frac{1}{4}})} d u$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (8 u^{\frac{1}{4}})} d u$

Paso 2.4.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{8 u^{\frac{1}{4}}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $u^{\frac{1}{4}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{4}}$ con respecto a $u$ es $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{8} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$ como $\frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ como $\frac{1}{6} u^{\frac{3}{4}} + C$ .

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{4}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x^{3} + 9$ .

$\frac{1}{6} {(4 x^{3} + 9)}^{\frac{3}{4}} + C$