Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 1.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2} + 7 (u + 2) - 3}{u} d u$

Paso 2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} + \frac{7 (u + 2)}{u} + \frac{- 3}{u} d u$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{- 3}{u} d u$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{{(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 6

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 6.1

Reescribe ${(u + 2)}^{2}$ como $(u + 2) (u + 2)$ .

$2 \int \frac{(u + 2) (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int \frac{u (u + 2) + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 6.5

Reordena $u$ y $2$ .

$2 \int \frac{u \cdot u + 2 \cdot u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 7

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 8

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 \int \frac{u^{1} u^{1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \int \frac{u^{1 + 1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Suma $1$ y $1$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 11

Suma $2 u$ y $2 u$ .

$2 \int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 12

Divide $u^{2} + 4 u + 4$ por $u$ .

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Paso 12.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$4 u$

$4$

Paso 12.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $u^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$

Paso 12.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			+	$u^{2}$	+	$0$

Paso 12.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $u^{2} + 0$ .

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$

Paso 12.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$

Paso 12.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Paso 12.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 u$ por el término de mayor orden en el divisor $u$ .

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

Paso 12.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					+	$4 u$	+	$0$

Paso 12.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 u + 0$ .

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$

Paso 12.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$
							+	$4$

Paso 12.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 \int u + 4 + \frac{4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 13

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int u d u + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 15

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 16

Combina $\frac{1}{2}$ y $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 17

Dado que $4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 18

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 19

Dado que $7$ es constante con respecto a $u$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int \frac{u + 2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 20

Divide $u + 2$ por $u$ .

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Paso 20.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$u$

$0$

$u$

$2$

Paso 20.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $u$ por el término de mayor orden en el divisor $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	+	$2$

Paso 20.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$0$

Paso 20.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $u + 0$ .

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$

Paso 20.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$
					+	$2$

Paso 20.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int 1 + \frac{2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 21

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (\int d u + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 22

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 23

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 24

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{3}{u} d u$

Paso 25

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{3}{u} d u$

Paso 26

Dado que $3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - (3 \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 27

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 28

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 (\ln (| u |) + C)$

Paso 29

Simplifica.

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Paso 29.1

Simplifica.

$u^{2} + 8 u + 8 \ln (| u |) + 7 u + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Paso 29.2

Simplifica.

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Paso 29.2.1

Suma $8 u$ y $7 u$ .

$u^{2} + 15 u + 8 \ln (| u |) + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Paso 29.2.2

Suma $8 \ln (| u |)$ y $14 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 22 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

Paso 29.2.3

Resta $3 \ln (| u |)$ de $22 \ln (| u |)$ .

$u^{2} + 15 u + 19 \ln (| u |) + C$

Paso 30

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

${(x - 2)}^{2} + 15 (x - 2) + 19 \ln (| x - 2 |) + C$