Cálculo Ejemplos

$\int \frac{4 x^{3}}{2 x + 3} d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 2 x + 3$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 2 x + 3$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3}}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 2

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3}}{u_{1}} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{3}{2}]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- \frac{3}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} \cdot 2 d u_{2}$

Paso 4.3

Combina $\frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3}$ y $2$ .

$2 \int \frac{{u_{2}}^{3} \cdot 2}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

Paso 4.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${u_{2}}^{3}$ .

$2 \int \frac{2 {u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 (2 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2})$

Paso 6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{2 u_{2} + 3} d u_{2}$

Paso 7

Divide ${u_{2}}^{3}$ por $2 u_{2} + 3$ .

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Paso 7.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 u_{2}$

$3$

${u_{2}}^{3}$

$0 {u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

Paso 7.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo ${u_{2}}^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 u_{2}$ .

					$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

Paso 7.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{3}$	+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

Paso 7.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $u^{3} + \frac{3 u^{2}}{2}$ .

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

Paso 7.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$

Paso 7.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$

Paso 7.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- \frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 u_{2}$ .

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$

Paso 7.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{9 u_{2}}{4}$

Paso 7.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- \frac{3 u^{2}}{2} - \frac{9 u}{4}$ .

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$

Paso 7.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$

Paso 7.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$

Paso 7.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $\frac{9 u_{2}}{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 u_{2}$ .

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$

Paso 7.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$\frac{27}{8}$

Paso 7.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $\frac{9 u_{2}}{4} + \frac{27}{8}$ .

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 u_{2}}{4}$	-	$\frac{27}{8}$

Paso 7.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$	-	$\frac{3 u_{2}}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 u_{2}$	+	$3$		${u_{2}}^{3}$	+	$0 {u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{3}$	-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$0 u_{2}$
					+	$\frac{3 {u_{2}}^{2}}{2}$	+	$\frac{9 u_{2}}{4}$
							+	$\frac{9 u_{2}}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 u_{2}}{4}$	-	$\frac{27}{8}$
									-	$\frac{27}{8}$

Paso 7.16

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$4 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} - \frac{3 u_{2}}{4} + \frac{9}{8} - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2}$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$4 (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y ${u_{2}}^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + \int - \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \int \frac{3 u_{2}}{4} d u_{2} + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - (\frac{3}{4} \int u_{2} d u_{2}) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 14

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \int \frac{9}{8} d u_{2} + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 16

Aplica la regla de la constante.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9}{8} u_{2} + C + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 17

Combina $\frac{9}{8}$ y $u_{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C + \int - \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 18

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \int \frac{27}{8 (2 u_{2} + 3)} d u_{2})$

Paso 19

Dado que $\frac{27}{8}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{27}{8}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - (\frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u_{2} + 3} d u_{2}))$

Paso 20

Sea $u_{3} = 2 u_{2} + 3$ . Entonces $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 20.1

Deja $u_{3} = 2 u_{2} + 3$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Paso 20.1.1

Diferencia $2 u_{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 3]$

Paso 20.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 u_{2} + 3$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

Paso 20.1.3

Evalúa $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

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Paso 20.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $2 u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

Paso 20.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

Paso 20.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [3]$

Paso 20.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 20.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $u_{2}$ , la derivada de $3$ con respecto a $u_{2}$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 20.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 20.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Multiplica $\frac{1}{u_{3}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

Paso 21.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

Paso 22

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Paso 23

Simplifica.

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Paso 23.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{27}{8}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{2 \cdot 8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Paso 23.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{16} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Paso 24

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) + \frac{9 u_{2}}{8} + C - \frac{27}{16} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Paso 25

Simplifica.

$4 (\frac{{u_{2}}^{3}}{6} - \frac{3 {u_{2}}^{2}}{8} + \frac{9 u_{2}}{8} - \frac{27 \ln (| u_{3} |)}{16}) + C$

Paso 26

Reordena los términos.

$4 (\frac{1}{6} {u_{2}}^{3} - \frac{3}{8} {u_{2}}^{2} + \frac{9}{8} u_{2} - \frac{27}{16} \ln (| u_{3} |)) + C$

Paso 27

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 27.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| u_{3} |)) + C$

Paso 27.2

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 u_{2} + 3$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 u_{2} + 3 |)) + C$

Paso 27.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + 3$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 u_{2} + 3 |)) + C$

Paso 27.4

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}$ .

Paso 27.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + 3$ .

Paso 28

Simplifica.

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Paso 28.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

Paso 28.2

Combina los términos opuestos en $2 x + 3 - 3$ .

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Paso 28.2.1

Resta $3$ de $3$ .

Paso 28.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

Paso 28.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 28.3.1

Cancela el factor común.

Paso 28.3.2

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4

Simplifica cada término.

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Paso 28.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 3 - 3}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.2

Combina los términos opuestos en $2 x + 3 - 3$ .

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Paso 28.4.2.1

Resta $3$ de $3$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 28.4.3.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{1}{6} {(\frac{2 x}{2})}^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$4 (\frac{1}{6} x^{3} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.4

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 3 - 3}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.6

Combina los términos opuestos en $2 x + 3 - 3$ .

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Paso 28.4.6.1

Resta $3$ de $3$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.6.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 28.4.7.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} {(\frac{2 x}{2})}^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.7.2

Divide $x$ por $1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3}{8} x^{2} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.8

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{8}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{2} \cdot 3}{8} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 \cdot x^{2}}{8} + \frac{9}{8} (\frac{2 x + 3}{2} - \frac{3}{2}) - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x + 3 - 3}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.11

Combina los términos opuestos en $2 x + 3 - 3$ .

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Paso 28.4.11.1

Resta $3$ de $3$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x + 0}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.11.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.12

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 28.4.12.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 (4)} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.12.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 (4)} \cdot \frac{2 (x)}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.12.3

Cancela el factor común.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.12.4

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9}{4} \cdot \frac{x}{2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.13

Multiplica $\frac{9}{4}$ por $\frac{x}{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4 \cdot 2} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.14

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27}{16} \ln (| 2 x + 3 |)) + C$

Paso 28.4.15

Combina $\ln (| 2 x + 3 |)$ y $\frac{27}{16}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{\ln (| 2 x + 3 |) \cdot 27}{16}) + C$

Paso 28.4.16

Mueve $27$ a la izquierda de $\ln (| 2 x + 3 |)$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Paso 28.5

Para escribir $\frac{x^{3}}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Paso 28.6

Para escribir $- \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 28.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $48$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 28.7.1

Multiplica $\frac{x^{3}}{6}$ por $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{6 \cdot 8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 28.7.2

Multiplica $6$ por $8$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Paso 28.7.3

Multiplica $\frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ por $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{16 \cdot 3}) + C$

Paso 28.7.4

Multiplica $16$ por $3$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Paso 28.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8 - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Paso 28.9

Simplifica el numerador.

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Paso 28.9.1

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 \cdot x^{3} - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Paso 28.9.2

Multiplica $3$ por $- 27$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48}) + C$

Paso 28.10

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8}) + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 28.11

Simplifica.

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Paso 28.11.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 28.11.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 x^{2}}{8}$ al numerador.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{8} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 28.11.1.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 (2)} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 28.11.1.3

Cancela el factor común.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 28.11.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 28.11.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 28.11.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 (2)} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 28.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 \cdot 2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 28.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Paso 28.11.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 28.11.3.1

Factoriza $4$ de $48$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 (12)} + C$

Paso 28.11.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 \cdot 12} + C$

Paso 28.11.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Paso 28.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Paso 29

Reordena los términos.

$- \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{1}{12} (8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)) + C$