Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

Paso 1

Combina $\frac{1}{x^{3}}$ y $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Paso 2

Sea $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.3.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.1.3.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.3.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.3.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.3.10

Resta $4$ de $1$ .

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.3.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Paso 2.1.3.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

Paso 2.1.3.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$0 + 2 x^{- 3}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.2.2

Suma $0$ y $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$