Cálculo Ejemplos

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{3} + 5$ . Entonces $d u = 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = x^{3} + 5$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 1.1.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Paso 1.1.5

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{3} + 5$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 5$

Paso 1.3.2

Suma $- 1$ y $5$ .

$u_{lower} = 4$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{3} + 5$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 5$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $5$ .

$u_{upper} = 6$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

Paso 4

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $6$ y en $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Paso 4.3.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Paso 4.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Paso 4.3.2.2

Combina $- 8$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

Paso 4.3.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Forma decimal:

$4.46462563 \dots$