Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

Paso 1

Sea $u_{2} = \csc (π A)$ . Entonces $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ , de modo que $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \csc (π A)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ es $f' (g (A)) g' (A)$ donde $f (A) = \csc (A)$ y $g (A) = π A$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\csc (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $π$ es constante con respecto a $A$ , la derivada de $π A$ con respecto a $A$ es $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ es $n A^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

Paso 1.1.3.3.2

Reordena los factores de $- \csc (π A) \cot (π A) π$ .

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $A$ en $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combina $π$ y $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{6})$ es $2$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $A$ en $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Paso 1.5.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ , $d u_{2}$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Paso 2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Evalúa $- \frac{1}{π} u_{2}$ en $1$ y en $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

Paso 4.3

Combina $\frac{1}{π}$ y $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

Paso 4.4.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{1}{π}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{π}$

Forma decimal:

$0.31830988 \dots$