Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 x \sqrt[3]{5 x^{2} + 3}}{3} d x$

Paso 1

Sea $u = 5 x^{2} + 3$ . Entonces $d u = 10 x d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 5 x^{2} + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $10 x$ y $0$ .

$10 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{3} \cdot \frac{1}{10} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt[3]{u}}{3}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{3 \cdot 10} d u$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{30} d u$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $5$ y $30$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{5 (\sqrt[3]{u})}{30} d u$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $5$ de $30$ .

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{5 \cdot 6} d u$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{5 \sqrt[3]{u}}{5 \cdot 6} d u$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{1}{6} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ como $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ como $\frac{1}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{8} {(5 x^{2} + 3)}^{\frac{4}{3}} + C$