Cálculo Ejemplos

$\int 5 \sqrt{5 x - 1 d x} d x$

Paso 1

Sea $u = 5 x - 1 d x$ . Entonces $d u = (- d + 5) d x$ , de modo que $\frac{1}{- d + 5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 5 x - 1 d x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 x - 1 d x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 1 d x]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 1 d x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 1 d x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Reescribe $- 1 d$ como $- d$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- d x]$

Paso 1.1.4.2

Como $- d$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- d x$ con respecto a $x$ es $- d \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - d \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 - d \cdot 1$

Paso 1.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$5 - d$

Paso 1.1.5

Reordena los términos.

$- d + 5$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 5 \sqrt{u} \frac{1}{- d + 5} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{- d + 5}$ y $5$ .

$\int \frac{5}{- d + 5} \sqrt{u} d u$

Paso 2.2

Combina $\frac{5}{- d + 5}$ y $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{5 \sqrt{u}}{- d + 5} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{5}{- d + 5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{5}{- d + 5}$ fuera de la integral.

$\frac{5}{- d + 5} \int \sqrt{u} d u$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{- d + 5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{- d + 5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{5}{- d + 5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ como $\frac{10}{(- d + 5) \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{10}{(- d + 5) \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $- d + 5$ .

$\frac{10}{3 \cdot (- d + 5)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{10}{3 (- d + 5)}$ y $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3 (- d + 5)} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x - 1 d x$ .

$\frac{10 {(5 x - 1 d x)}^{\frac{3}{2}}}{3 (- d + 5)} + C$