Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x^{2}$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Paso 1.1.4

Resta $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ como $- u + 1$ .

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- u + 1}$ como ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\int {(- u + 1)}^{1} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.1.5

Simplifica.

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3

Combina $u^{\frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 1) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int (- u + 1) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \int - u \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 4.2

Combina $- u$ y $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 4.3

Factoriza el negativo.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 4.4

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 4.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 4.8

Suma $2$ y $3$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 4.9

Multiplica $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ por $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (- \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{5}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 10

Combina $\frac{2}{7}$ y $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Paso 13.2

Simplifica.

$- (- \frac{u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$- (- \frac{1}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{7} {(1 - x^{2})}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$