Cálculo Ejemplos

$\int_{2}^{4} \frac{1}{5 - 3 x} d x$

Paso 1

Sea $u = 5 - 3 x$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 5 - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Paso 1.1.4

Resta $3$ de $0$ .

$- 3$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 5 - 3 x$ .

$u_{lower} = 5 - 3 \cdot 2$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$u_{lower} = 5 - 6$

Paso 1.3.2

Resta $6$ de $5$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 5 - 3 x$ .

$u_{upper} = 5 - 3 \cdot 4$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$u_{upper} = 5 - 12$

Paso 1.5.2

Resta $12$ de $5$ .

$u_{upper} = - 7$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 7$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Paso 2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{3 u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{3 u} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} d u)$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| u |)]_{- 1}^{- 7}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\ln (| u |)$ en $- 7$ y en $- 1$ .

$- \frac{1}{3} ((\ln (| - 7 |)) - \ln (| - 1 |))$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$

Paso 6.2.2

Combina $\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})}{3}$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 7$ y $0$ es $7$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{| - 1 |})}{3}$

Paso 6.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{1})}{3}$

Paso 6.3.3

Divide $7$ por $1$ .

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Forma decimal:

$- 0.64863671 \dots$