Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Paso 1

Sea $u = x^{2} + 1$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 1.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Paso 1.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} u^{2} d u$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Paso 3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Paso 3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

Paso 3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 3.4.3

Simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 - 1}{3}$

Paso 3.4.3.2

Resta $1$ de $8$ .

$\frac{7}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{3}$

Forma decimal:

$2.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$2 \frac{1}{3}$