Cálculo Ejemplos

$\int \frac{9 x^{2}}{{(5 - 2 x^{3})}^{4}} d x$

Paso 1

Sea $u = 5 - 2 x^{3}$ . Entonces $d u = - 6 x^{2} d x$ , de modo que $- \frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 5 - 2 x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 - 2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - 2 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$0 - 6 x^{2}$

Paso 1.1.4

Resta $6 x^{2}$ de $0$ .

$- 6 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{9}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{9}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{9}{u^{4}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{9}{u^{4} \cdot 6} d u$

Paso 2.3

Mueve $6$ a la izquierda de $u^{4}$ .

$\int - \frac{9}{6 \cdot u^{4}} d u$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $9$ y $6$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$\int - \frac{3 (3)}{6 u^{4}} d u$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $3$ de $6 u^{4}$ .

$\int - \frac{3 (3)}{3 (2 u^{4})} d u$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int - \frac{3 \cdot 3}{3 (2 u^{4})} d u$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int - \frac{3}{2 u^{4}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{3}{2 u^{4}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{3}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Mueve $u^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Paso 5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Paso 5.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{- 4} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 4}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ como $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Paso 7.2

Reescribe $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ como $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{3}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Paso 7.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Paso 7.3.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Paso 7.3.4

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{2 (3 u^{3})} + C$

Paso 7.3.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6 u^{3}} + C$

Paso 7.3.6

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 7.3.6.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6 u^{3}} + C$

Paso 7.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.6.2.1

Factoriza $3$ de $6 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (2 u^{3})} + C$

Paso 7.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (2 u^{3})} + C$

Paso 7.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 u^{3}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 - 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 x^{3})}^{3}} + C$