Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{x^{5} - 8} \cdot 5 x^{4} d x$

Paso 1

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt{x^{5} - 8}$ .

$\int 5 \sqrt{x^{5} - 8} x^{4} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{5} - 8$ . Entonces $d u = 5 x^{4} d x$ , de modo que $\frac{1}{5 x^{4}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{5} - 8$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 2.1.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Paso 2.1.5

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$5 x^{4}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5} - 8$ .

$\frac{2}{3} {(x^{5} - 8)}^{\frac{3}{2}} + C$