Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{3}}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - 4 x^{3}$ . Entonces $d u = - 12 x^{2} d x$ , de modo que $- \frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - 4 x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

Paso 1.1.4

Resta $12 x^{2}$ de $0$ .

$- 12 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{2}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 12} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{2}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{12}) d u$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\int - \frac{2}{\sqrt{u} \cdot 12} d u$

Paso 2.3

Mueve $12$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{2}{12 \cdot \sqrt{u}} d u$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $2$ y $12$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\int - \frac{2 (1)}{12 \sqrt{u}} d u$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $2$ de $12 \sqrt{u}$ .

$\int - \frac{2 (1)}{2 (6 \sqrt{u})} d u$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int - \frac{2 \cdot 1}{2 (6 \sqrt{u})} d u$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int - \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 5.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 5.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 5.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{6} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $- \frac{1}{6} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.2

Reescribe $- \frac{1}{6} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ como $\frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{- 1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 4 x^{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - 4 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$