Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Paso 3.1.1

Reorganiza los términos.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $\sec (t)$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \sec (t) d t$

Paso 4

La integral de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$