Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Paso 1

Esta integral no pudo completarse mediante sustitución de u. Mathway usará otro método.

Paso 2

La integral de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Evalúa $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ en $\frac{3 π}{4}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Paso 3.2.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cotangente es negativa en el segundo cuadrante.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Paso 3.3.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Paso 3.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Paso 3.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Paso 3.3.5.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{4})$ es $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Paso 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ es aproximadamente $2.41421356$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Paso 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ es aproximadamente $0.41421356$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ por $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ por $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Paso 4.3

Expande el denominador con el método PEIU.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Paso 4.4

Simplifica.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Paso 4.5

Divide $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ por $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Paso 4.6

Reescribe $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ como $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Paso 4.7

Suma $\ln (\sqrt{2} + 1)$ y $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimal:

$1.76274717 \dots$