Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 1.3

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2

Sea $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 2.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 2.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = 0^{1}$

Paso 2.3.4

Evalúa el exponente.

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{π^{2}}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica los exponentes en ${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica.

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.5.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.5.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.3.3.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

Paso 2.5.3.4

Evalúa el exponente.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Paso 4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Paso 5

Evalúa $- \cos (u)$ en $\frac{π}{2}$ y en $0$ .

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$2 (- 0 + \cos (0))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 (- 0 + 1)$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (0 + 1)$

Paso 6.4

Suma $0$ y $1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$