Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} d x$

Paso 1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

Paso 2

Completa el cuadrado.

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Paso 2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot 1 + x (- x)$

Paso 2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + x (- x)$

Paso 2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x - x \cdot x$

Paso 2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.4.1

Mueve $x$ .

$x - (x \cdot x)$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x - x^{2}$

Paso 2.1.5

Reordena $x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Paso 2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Paso 2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.4.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 2.4.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Paso 2.5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $- - \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.5.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Paso 2.5.2.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.2

Suma $0$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Paso 2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

Paso 3

Sea $u = x - \frac{1}{2}$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x - \frac{1}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Paso 3.1.4

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

Paso 4

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

Paso 4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

Paso 5

Reescribe $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

Paso 6

Reordena $- u^{2}$ y ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$ .

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

Paso 8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$\arcsin (2 x - 1) + C$