Cálculo Ejemplos

$\int 9 x^{2} \sqrt{1 - x^{3}} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x^{3}$ . Entonces $d u = - 3 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{- 3 x^{2}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x^{3}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Paso 1.1.4

Resta $3 x^{2}$ de $0$ .

$- 3 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - 3 \sqrt{u} d u$

Paso 2

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$- 3 \int \sqrt{u} d u$

Paso 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $- 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 5.2

Reescribe $- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ como $- 2 u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- 2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{3}$ .

$- 2 {(1 - x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$